Matlab 菲涅耳/夫琅禾费衍射仿真：FFT 坐标、采样与七项验收

1. 先判断这个模型能不能用

以下讨论默认单色、相干、标量、傍轴和自由空间传播。如果任务涉及强非傍轴、偏振/矢量衍射、介质边界或复杂光学系统，本文的单 FFT 公式不应直接套用。先写清波长 λ、孔径特征半尺寸 a、传播距离 z、输入采样 Δx₁ 和网格数 N，并统一为米。

Fresnel 数可写为 F=a²/(λz)。这里的 a 是圆孔半径或单缝半宽；如果参考资料用直径或全缝宽，F 会相差常数倍，不能不看定义直接比阈值。F 远小于 1 通常更接近远场，F 远大于 1 通常近场特征明显；0.1 和 10 可用作保守的工程提示，不是严格物理分界。

2. 一个可手算核对的圆孔例子

取 λ=632.8 nm、圆孔半径 a=0.25 mm、z=1 m、N=1024、Δx₁=5 μm。在写传播代码前，先得到：

• Fresnel 数 F=0.09877，位于远场启发式边界附近；应保留菲涅耳结果与远场结果的对比。
• 输入窗口 L₁=NΔx₁=5.12 mm，0.5 mm 孔径由 100 个采样点跨越，且距窗口边界有明显留白。
• 对单 FFT 缩放实现，Δx₂=λz/(NΔx₁)=123.59 μm，输出窗口约 126.56 mm。
• 圆孔直径 D=0.5 mm，远场第一暗环半径 r₁≈1.22λz/D=1.544 mm，约有 12.5 个输出像素，足以做初步尺度对比。

这些数字不是仿真结果，而是仿真前的“预期答案”。如果图上第一暗环在 0.15 mm 或 15 mm，首先应怀疑单位、坐标或 FFT 缩放，而不是继续调色标。

3. 最小 Matlab 计算骨架

下面是夫琅禾费远场的最小骨架，已公开关键计算方法，不需要购买资料才能理解：

lambda = 632.8e-9; z = 1;
N = 1024; dx1 = 5e-6; a = 0.25e-3;
x1 = (-N/2:N/2-1) * dx1;
[X1,Y1] = meshgrid(x1,x1);
U1 = double(X1.^2 + Y1.^2 <= a^2);

F = fftshift(fft2(ifftshift(U1))) * dx1^2;
dx2 = lambda*z/(N*dx1);
x2 = (-N/2:N/2-1) * dx2;
U2 = exp(1i*2*pi*z/lambda)/(1i*lambda*z) .* F;
I2 = abs(U2).^2;

ifftshift 把以数组中心定义的孔径移到 DFT 期望的原点布局，fftshift 再把零频移回显示中心。MathWorks 说明 fft2 对矩阵计算二维离散傅里叶变换，而输出尺寸默认与输入一致。但“数组同尺寸”不等于“物理坐标同采样”；远场坐标必须由 x₂=λzf 映射。

菲涅耳单 FFT 需在输入与输出端加二次相位因子，但其输出采样仍是 λz/(NΔx₁)。角谱法等其他算法的窗口与采样关系不同，不能混用这套坐标。

4. 七项验收：不要只看归一化彩图

1. 单位验收：打印 λ、a、z、Δx₁、Δx₂ 和两个窗口宽度，内部统一用米，显示层再换算。
2. 孔径采样验收：孔径直径不应只有几个像素，且孔径不能触及输入窗口边界。精度任务要求应由收敛结果决定，不是死记 16 或 32 个点。
3. 对称与中心验收：对居中圆孔和单缝，强度应以中心对称。偶数网格的中心位于样本之间，比较旋转数组时要考虑一样本循环位移，否则会把索引约定误判为物理不对称。
4. 理论尺度验收：圆孔检查 1.22λz/D，单缝检查第一零点半宽 λz/b。先比较数值截面的第一个局部极小，不要用肉眼估彩图圈半径。
5. 能量验收：比较 sum(abs(U1).^2)*dx1^2 与 sum(abs(U2).^2)*dx2^2。具体容差受离散归一化、窗口截断和模型影响，但必须在修改网格时可解释，不能用每张图各自除以最大值来掩盖。
6. 网格收敛验收：分别将 N 加倍、窗口扩大和 Δx₁ 减小，比较主瓣宽度、能量、中心截面和第一零点。一次只改一类参数，才能定位误差来源。
7. 模型交叉验收：在 F 的过渡区同时运行菲涅耳与夫琅禾费结果。比较带物理坐标的中心截面，并记录两者从什么距离开始达到你的误差标准。

5. 六个高频错误与定位顺序

• 图案居中但尺度差 10³ 倍：检查 nm、μm、mm 是否在进入公式前换算为 m。
• 主瓣宽度不对：检查是否把半径 a 当成直径 D，或把单缝半宽与全宽混用。
• 中心偏一格：核对偶数 N 的坐标定义和 ifftshift/fftshift 顺序。
• 改 N 后图案大小突变：你可能既改了采样密度又改了物理窗口；先决定要保持 Δx₁ 还是 L₁ 不变。
• 归一化图都很像：保留未归一化强度、积分能量和峰值，再另生成用于观察的归一化图。
• 增大 N 仍不收敛：单纯补零会改善频域插值，但不会恢复已被粗采样丢失的孔径边缘信息；需要区分扩窗口和减小 Δx₁。

6. 何时选夫琅禾费、菲涅耳或其他方法

• 只关心充分远场的角分布：夫琅禾费 FFT 最直接，但仍要映射物理坐标。
• 传播距离在傍轴近场/过渡区：使用菲涅耳传播，并做相位与输出采样检查。
• 希望输入输出保持相同采样，或需要多距离传播：可考虑角谱法，但要重新分析频率支持、倐逼分量和周期回卷。
• 强非傍轴、高 NA 或偏振效应重要：换用适合的矢量模型，不应通过放宽 Fresnel 阈值继续使用标量傍轴模型。

7. 一手资料与使用边界

• MathWorks：fft2 二维快速傅里叶变换
• MathWorks：fftshift 零频居中
• MIT OpenCourseWare：Fraunhofer diffraction and Fourier transforms
• Carnegie Mellon：Fresnel/Fraunhofer diffraction lab
• University of Tennessee：圆孔 Airy 第一极小与 1.22λ/D

本文根据上述一手/高校公开资料独立整理，不复制论文、教材或付费教程。任何课程、研究或工程结论都应在你的环境中通过收敛、尺度和误差验收。